Dvadsaťročný Redzic, ktorý má bosnianske korene, futbalovo vyrastal v Harkány SE, následne hral v Maďarsku aj v tímoch Kozármislény SE a PMFC Pécs. Už v dvanástich rokoch zaujal skautov Partizanu Belehrad a Dinama Záhreb. V lete 2017 sa sťahoval do Ferencvárosu, kde pôsobil doteraz.
Prvú profesionálnu zmluvu podpísal v lete 2020, v uplynulých troch sezónach nastupoval za A-tím i B-tím Ferencvárosu, ako aj rezervný tím "zeleno-bielych" v Soroksári. Celkovo si od ročníka 2020/2021 pripísal v troch najvyšších súťažiach 85 štartov a 25 gólov.
"Veľmi sa teším na novú výzvu, prichádzam do kvalitného mužstva, ktoré má skvelých fanúšikov. DAC je veľký klub, mám tam viacero známych, ktorí mi jednoznačne odporučili hosťovanie. Môj prvoradý cieľ je presadiť sa a gólmi či asistenciami pomáhať mužstvu v najbližšej sezóne. Medzi moje prednosti patrí rýchlosť, streľba a dribling. Verím, že dostanem priestor čo najviac z toho ukázať aj v žlto-modrom," uviedol pre klubový web Redzic, ktorý bude na Žitnom ostrove nosiť dres s číslom 23.
V drese Ferencvárosu si zahral aj v predkole Ligy majstrov a v minulej sezóne v skupinovej fáze Európskej ligy. S "Fradi" oslavoval zisk troch majstrovských titulov. Redzic je dlhoročný mládežnícky reprezentant Maďarska, aktuálne patrí do širšieho kádra výberu do 21 rokov.
"Damir je krídelník s vlastnosťami, ktoré sme hľadali: rýchly, ľavonohý a dobrý v zakončení. Je stále mladý a potrebuje vhodné prostredie, v ktorom môže ukázať svoje schopnosti. V minulosti sme v rámci spolupráce s Ferencvárosom dotiahli Ramadana, Szánthóa a Gavriča a potvrdilo sa, že tento krok je prospešný pre kluby aj samotného hráča. Dúfam, že Damir potvrdí svoje nesporné kvality aj v našej MOL Aréne, želám mu k tomu veľa šťastia," konštatoval Jan Van Daele, športový riaditeľ DAC-u.