Rodák z Banskej Bystrice odchytal v NHL počas hráčskej kariéry za Colorado, Montreal, Los Angeles a Tampu Bay celkovo 368 zápasov v základnej časti a ďalších sedem pridal v play-off. Na úrovni AHL odchytal 241 stretnutí, v sezóne 2015/16 sa stal najlepším brankárom súťaže.
Po ukončení kariéry sa Budaj presunul do pozície trénera brankárov. Začínal v súťaži NA3HL, neskôr sa presunul do Colorada Avalanche, kde krátko pôsobil pri prvom tíme počas rozvojového kempu a neskôr túto pozíciu zastával vo farmárskom tíme Colorado Eagles.
Budaj sa stal prvým slovenským brankárom, ktorý sa dokázal presadiť do NHL a stále drží medzi slovenskými rodákmi ako najvyššie draftovaný gólman. Šancu mu dalo Colorado, v ktorého prvom tíme odchytal aj 57-zápasovú sezónu, čo je jeho najvyššie číslo.